Representación simbólica y angular del entorno...

COLEGIO DE EDUCACIÓN PROFESIONAL TÉCNICA  DEL ESTADO DE VERACRUZ

 ESCUELA: CONALEP 177  

     

GRADO: SEGUNDO SEMESTRE

 GRUPO: 208

 CARRERA: HOSPITALIDAD TURÍSTICA

 MODULO: REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA Y ANGULAR DEL ENTORNO

 DOCENTE: FELIPE ALBERTO

 FECHA: 18- DE JUNIO DEL 2018

 TEMA: INVESTIGACIONES

 ALUMNOS: 

 KNI

KARINA YUNUEI LÓPEZ JUÁREZ

NORMA EPIFANIA FRANCISCO ALMANZA  
ISIS MONSERRAT FLORES LORENZANA

I N D I C E . . . 

            INVESTIGACIONES I UNIDAD ......................................

            Desigualdades..................................................................

            Propiedades de la desigualdad.......................................

            Función Exponencial.....................................................

           INVESTIGACIONES II UNIDAD...................................

          Ángulos..............................................................   

v        Exposiciones.....................................................

          INVESTIGACIONES III UNIDAD..................................

          Organizadores gráficos............................................

          ¿Qué es una desigualdad?

    Una desigualdad es una relacion de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos. Si los valores en cuestion son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales entonces pueden ser comparados.

       Una desigualdad expresa que dos valores no son iguales. 

       A ≠ b expresa que a es diferente de b

     Hay otros símbolos especiales que muestran en qué sentido las cosas no son iguales.

    a < b dice que a es menor que b

    a > b dice que a es mayor que b

    (estos dos son conocidos como desigualdades estrictas)

    a ≤ b significa que  es menor o igual que b

    a ≥ b significa que es mayor o igual que b.

   Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

      b ≠ no es igual
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que

      De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

      1º Todo número positivo es mayor que cero

     Ejemplo:

    5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5

     2º Todo número negativo es menor que cero

    Ejemplo:

     –9 < 0 ; porque –9 –0 = –9

    3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto ;

   Ejemplo:

   –10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20

    Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación .

     Por ejemplo:

   X + 3 < 7

   (La punta del signo < siempre señala el menor)

    Ejemplos:

   3 < 4,       4 > 3

   ¿Como resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que conocer y entender las propiedades de las desigualdades.

   Propiedades de las desigualdades

    1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

    a < b            / ± c  (sumamos o restamos c a ambos lados)

    a ± c < b ± c

     Ejemplo:

     2 + x  >  16          / – 2  (restamos 2 a ambos lados)

     2 + x − 2 > 16 − 2

     x  >  14

     2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

      a < b            / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)

     a • c < b • c

     a > b          / • c (c > 0) ( c es positivo, mayor que cero)

     a • c > b • c

      Ejemplo

     3 ≤ 5 • x   / :5

     3/5 ≤ x    esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

     3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

     a < b              / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)

     a • c > b • c

     a > b             / • c (c < 0) ( c es negativo, menor que cero)

     a • c < b • c

    Ejemplo:

    15 – 3 • x ≥ 39                   / −15

     − 3 • x ≥ 39 – 15           /: −3

     x ≤ 24: (−3)

     x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Propiedad antireflexiva	Para todos los números reales x, o
Propiedad de antisimetría	Para todos los números reales xy y , o    o
Propiedad transitiva	Para todos los números reales x, y , y z ,    o    si x < y y y < z , entonces x < z .    o    si x > y y y > z , entonces x > z .
Propiedad de la suma	Para todos los números reales x, y , y z ,   o    si x < y, entonces x + z < y + z.
Propiedad de la resta	Para todos los números reales x, y , y z , o    si x < y, entonces x – z < y – z.
Propiedad de la multiplicación	Para todos los números reales x, y , y z , o    si x < y , entonces

 TIPOS DE INTERVALOS:

    Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos cualesquiera de sus elementos.

     Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.

   Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos.

   Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos.

   Sean a y b dos números reales tales que a < b.

    Intervalo cerrado

   Es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidos entre ambos.

[a, b] = { x / a £ x £ b}

    Intervalo abierto

    Es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.

(a, b) = {x / a < x < b}

    Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha)

    Es el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b.

(a, b] = {x / a < x £ b}

    Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda)

    Es el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b.

[a, b) = { x / a £ x < b}

   Intervalos infinitos

                      

[a, +¥) = { x / x ³ a}                                 (a, +¥) = { x / x > a}

                        

(-¥ , b] = { x / x £ b}                                 (-¥ , b) = { x / x < b}

(-¥ , +¥ ) = R

    Ejemplo. Interprete gráficamente los intervalos:    a) [-2, 3]    b) (1, 4)    c) (0, 5]    d) [1, +¥ )    e) (-¥ , 3)

   a) El intervalo [-2, 3] comprende todos los números reales entre -2 y 3. Como es cerrado incluye los extremos. Su representación gráfica es:

   b) El intervalo (1, 4) corresponde a todos los números reales entre 1 y 4. Es abierto pues no incluye a los extremos. Gráficamente:

   c) El intervalo (0, 5] comprende todos los números reales entre 0 y 5 incluyendo el extremo 5. Se trata de un intervalo semiabierto a izquierda o bien semicerrado a derecha.  Su gráfica es:

   d) El intervalo [1, +¥ ) es infinito y comprende todos los números reales mayores o iguales a 1. Gráficamente:

   e) El intervalo (-¥, 3) es infinito y comprende todos los números reales menores que 3. Su gráfica es:

    A modo de resumen:

Nombre del intervalo	Notación conjuntista	Notación de intervalos	Representación gráfica
Abierto	{x / a < x < b}	(a, b)
Semicerrado a derecha	{x / a < x £ b}	(a, b]
Semicerrado a izquierda	{ x / a £ x < b}	[a, b)
Cerrado	{ x / a £ x £ b}	[a, b]
Infinito abierto a izquierda	{ x / x > a}	(a, +¥ )
Infinito cerrado a izquierda	{ x / x ³ a}	[a, +¥ )
Infinito abierto a derecha	{ x / x < b}	(-¥ , b)
Infinito cerrado a derecha	{ x / x £ b}	(-¥ , b]
Infinito	R	(-¥ , +¥ )

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Funciones exponenciales.

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos.

La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b 0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.

El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.

La función exponencial de base dos

y=f(x)=2x

La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos. x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

Para graficar esta función se localizan estos puntos en un plano cartesiano, uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función a medida que:

• x crece ilimitadamente.
• x decrece ilimitadamente.

La Función exponencial de base 1/2

Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la funcióncuando x tiende a +¥ y cuando x tiene a -¥.

y=f(x)=(1/2)x

x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 8 4 2 2 1/2 1/4 1/8

La Función exponencial para cualquier valor de b

Utiliza la siguiente escena para analizar el comportamiento de otras funciones exponenciales, para diferentes valores de b. Usa las flechas para modificar el valor de la base b. Compara el comportamiento de la función para valores de b 1 y valores de comprendidos entre 0,1.

Las escenas anteriores permiten deducir que:

• La función exponencial existe siempre para cualquier valor de la variable independiente x.

• Toma valores positivos para cualquier valor de x.

• El dominio de la Función_exponencial es todo el conjunto de los números reales.

• Todas las funciones pasan por el punto (0,1).

• Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con b1 son crecientes. Los valores de la función crecen cuando x aumenta.

• Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con 0 1 son decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando x aumenta.

• El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si b 1 y hacía la derecha si b 1.

• La definición exige que la base sea positiva y diferente de uno.

• Si b=0 la función se transforma en la función constante 0.

Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

También se suele denotar la función como exp (x).

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica.

Características

• Dominio: 
  El dominio son todos los números reales.
• Recorrido: 
  El recorrido son todos los números reales positivos.
• Derivada de la función exponencial: 
  En el caso particular en el que a sea igual al número e (e = 2,7182818…), la derivada de la función f(x) = e^x es ella misma. Es la única función que cumple esta propiedad.
• Integral de la función exponencial: 
• Todas las funciones exponenciales son continuas.
• Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es decreciente.
  
  
• La imagen de 0 siempre es 1 y la imagen de 1 es a.
  
  
  Así pues, las funciones exponenciales siempre pasan por los puntos (0 , 1) y (1 , a).
  
  
• La función exponencial es inyectiva.

Propiedades

Todas las funciones exponenciales exp (x) cumplen las siguientes propiedades:

1. 
2. 
3. 

SEGUNDA UNIDAD

Medición de ángulos

Al representar dos semirrectas con el mismo origen se determinan dos regiones en el plano. Cada una de estas regiones es un ángulo. 

Para medir la amplitud de un ángulo se utiliza un arco de circunferencia con centro en el origen de las semirrectas.

Si se mide un ángulo en sentido contrario al sentido de giro de las agujas del reloj, se considera positivo. Si se mide en el sentido de giro de las agujas del reloj, se considera negativo.

Las unidades para medir un ángulo son el grado sexagesimal, el radián y el grado centesimal.

Grado sexagesimal. Un grado sexagesimal es cada uno de los ángulos que se obtienen al dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Se representa por " º ". Una circunferencia tiene por tanto 360º, media circunferencia tiene 180º y un cuarto de circunferencia tiene 90º.

Un grado sexagesimal se divide en 60 minutos (1º=60'). Un minuto se divide en 60 segundos (1'=60''). Un ángulo que mide g grados, m minutos y s segundos se representa por: gº m' s''. Por ejemplo: 24º 47' 18''.

Una circunferencia completa tiene 360º. ¿Tiene sentido hablar de un ángulo mayor de 360º? Se puede entender como un número de vueltas a la circunferencia y un ángulo menor de 360º. Al dividir el ángulo mayor de 360º entre 360 se obtiene un cociente que indica el número de vueltas a la circunferencia y un resto, que es el ángulo menor de 360º equivalente al ángulo inicial.

Si se mide un ángulo en sentido contrario al sentido de giro de las agujas del reloj, se considera positivo. Si se mide en el sentido de giro de las agujas del reloj, se considera negativo. Cualquier ángulo se puede medir en sentido positivo o en sentido negativo. La suma de los valores absolutos de las dos medidas es igual a 360º.

Radián. Para medir la amplitud de un ángulo se utiliza un arco de circunferencia. El ángulo que tiene la longitud de este arco igual al radio de la circunferencia se llama radián.

Grado centesimal. Un grado centesimal es cada uno de los ángulos que se obtienen al dividir la circunferencia en 400 partes iguales. Se representa por " ^g ". Una circunferencia tiene por tanto 400^g, media circunferencia tiene 200^g y un cuarto de circunferencia tiene 100^g.

Las medidas más utilizadas son el grado sexagesimal y el radián. Como no se va a utilizar el grado centesimal, a partir de ahora y por simplificar la escritura, siempre que se hable de grados se referirá a grados sexagesimales.

Clasificación de ángulos en rectos, agudos y obtusos

1- Ángulos

Se llama ángulo a la parte del plano delimitada por dos semirrectas que parten de un mismo punto llamado vértice. A cada semirrecta se le llama lado del ángulo.

 

- Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman.

- El vértice del ángulo es el punto común que es origen de los lados.

2- Clasificación de los ángulos

Los ángulos se clasifican en 3 clases:

- Agudo, que son los que miden menos de 90°

- Recto, que son los que miden 90°

- Obtuso, que son los que miden más de 90° 

2.1- Ángulos rectos

Un ángulo recto es un ángulo que mide exactamente 90°. Si te das cuenta, en la esquina del ángulo hay un símbolo especial, una caja. Si ves ese símbolo, el ángulo es recto. No se suele escribir el 90°. Si ves la caja en la esquina ya te están diciendo que es un ángulo recto.

Un ángulo recto puede estar en cualquier orientación o giro, lo que importa es que el ángulo interior sea 90°

2.2- Ángulos agudos

Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 90°. 

2.3- Ángulos obtusos

Un ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 90° pero menos de 180°.

OPERACIONES DE LOS ANGULOS

1 Suma de ángulos

Gráfica: La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales.

Numérica:

1 Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

2 Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

3 Se hace lo mismo para los minutos.

2 Resta de ángulos

Gráfica: La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del ángulo mayor y la del ángulo menor.

Numérica:

1 Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

2 Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

3 Hacemos lo mismo con los minutos.

3 Multiplicación de ángulos

Gráfica: La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos iguales al dado como indique el número.

Numérica:

1 Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número.

2 Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

3 Se hace lo mismo para los minutos. 

4 División de ángulos

Gráfica: La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese número da como resultado el ángulo original.

:4 =

Numérica: Dividir 37º 48' 25'' entre 5

1 Se dividen los grados entre el número.

2 El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.

3 Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.

4 Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.

ECUACIONES:

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS: Son todos aquellos que suman 180˚ y por tanto forman un ángulo llano.

Aplicando una ecuación tendríamos:

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Son aquellos cuya suma es siempre de 90˚. Por tanto forman un ángulo recto.

Aplicando una ecuación:

El punto

En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, es decir, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares o parecidos. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

El punto es una figura geométrica sin dimensión, tampoco tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas.

Línea

Una línea funciona como una sucesión continua de puntos trazados, como por un trazo o un guion. Las líneas suelen utilizarse en la composición artística, se denomina en cambio «raya» a trazos rectos sueltos, que no forman una figura o forma en particular.¹​

En matemáticas y geometría, línea suele denotar línea recta o curva

En geometría, la línea también puede considerarse la distancia más corta entre dos puntos puestos en un plano. La línea está formada por un conjunto de puntos en un mismo plano.

El otro concepto de la línea desde la teoría de Kandinsky es, la línea geométrica es un ente invisible. La línea es un punto en movimiento sobre el plano; al destruirse el reposo del punto este se mueve por el espacio dando origen a la línea.²​

La línea es el elemento más básico de todo grafismo y uno de los sumamente utilizados. Representa a la forma de expresión más sencilla y pura, que a la vez puede ser dinámica y variada. Enrique Lipszyc expresa: la línea que define un contorno es una invención de los dibujantes, ya que «en la naturaleza un objeto es distinguido de otro por su diferencia de color o de tono.

Hay varios tipos de líneas, como la línea expresiva y la de contorno. La línea cierra espacios y delimita formas, representa el perfil de las cosas; esta línea periférica se llama contorno. El horizonte es la linea de contorno de la tierra.

Puntos coloniales

Punto es una noción que puede referirse a diferentes cuestiones: un signo ortográfico, un círculo, un lugar, un tema o una unidad de tanteo son puntos. Colineal, por su parte, se usa para describir dos o más elementos que se encuentran en una misma línea.

La noción de puntos colineales aparece en la geometría para denominar a los puntos que se sitúan en la misma recta. Para comprender el concepto con precisión, pues, debemos saber qué es un punto en geometría y qué es una recta.

Ambos (puntos y rectas), junto a los planos, forman el conjunto de lo que se conoce como entes fundamentales de la geometría. Se trata de elementos que se definen a partir del vínculo que establecen con otros semejantes.

Paralelismo

Igualdad de distancia entre todos los puntos de dos o más líneas o planos

Recta secante

«Secante (geometría)» redirige aquí. Para la razón trigonométrica recíproca del coseno, véase Secante (trigonometría).

Recta secante que corta una curva.

Secantes, cuerdas y tangentes de la circunferencia.

Una recta secante (lat. secare "cortar") es una recta que corta a una curva en 2 puntos. Conforme estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, la recta adquiere el nombre de recta tangente.

Congruencia

En matemáticas, dos figuras geométricas son congruentes si tienen las mismas dimensiones y la misma forma sin importar su posición u orientación, es decir, si existe una isometría que los relaciona: una transformación que puede ser de traslación, rotación y/o reflexión. Las partes relacionadas entre las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

Figuras congruentes relacionadas mediante traslación.

Figuras congruentes relacionadas mediante reflexión.

RAZON Y PROPORCION

 La razón es la comparación de dos cantidades y se mide a partir de la división dos valores, entonces: a/b.

La proporción es la igualdad entre dos o más razones. O sea, si a/b corresponde a la razón, entonces a/b = c/d equivale a una proporción. 

Superficie

Una superficie es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de una superficie esta se aproxima lo suficiente por el plano tangente a la superficie en dicho punto.

 

       

 Un triángulo es el polígono que resulta de unir 3 puntos con líneas rectas.

        Todo triángulo tiene 3 lados (a, b y c), 3 vértices (A, B y C) y 3 ángulos interiores (A, B y C)

        Habitualmente se llama lado a al lado que no forma parte del ángulo A. Lo mismo sucede con los lados b y c y los ángulos B y C.

Los triángulos podemos clasificarlos según 2 criterios:

Según la medida de sus lados

- Equilátero

            Los 3 lados (a, b y c) son iguales             

            Los 3 ángulos interiores son iguales

- Isósceles

            Tienen 2 lados iguales (a y b) y un lado desigual (c)

            Los ángulos A y B son iguales, y el otro agudo es distinto

- Escaleno

            Los 3 lados son distintos

            Los 3 ángulos son también distintos

Según la medida de sus ángulos

- Acutángulo

            Tienen los 3 ángulos agudos (menos de 90 grados)

- Rectángulo

            El ángulo interior A es recto (90 grados) y los otros 2 ángulos son agudos

            Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos (c y b), el otro lado hipotenusa

- Obtusángulo

            El ángulo interior A es obtuso (más de 90 grados)

            Los otros 2 ángulos son agudos

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En un triángulo rectángulo

            SENO: el seno de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa

            COSENO: el coseno de un ángulo es el cociente entre el cateto contiguo y la hipotenusa

            TANGENTE: la tangente de un ángulo es el cociente entre el seno y el coseno

TEOREMAS SOBRE TRIÁNGULOS

TEOREMA

La suma de los 3 ángulos de cualquier triángulo es siempre 180 grados

TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

            

TEOREMA DEL SENO

En un triángulo cualquiera

            o bien           

TEOREMA DEL COSENO

En un triángulo cualquiera

1. Un lado de un triángulo es siempre menor a la suma de los otros dos lados (a < b + c), pero mayor que su diferencia (a > b - c).

2. La suma de todos los ángulos interiores de un triángulo da siempre 180º (A + B + C = 180º).

3. El ángulo exterior de un triángulo es iguales a la suma de los ángulos interiores no adyacentes (a = A + B).

4. A mayor lado en un triángulo se opone también mayor ángulo.

5. En un triángulo con los lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales.

1.- Triángulo equilátero.-  El triángulo equilátero es el triángulo que tiene sus tres lados iguales, este tipo de triángulos tienen el mismo ángulo en sus esquinas, y sus lados son de la misma distancia. Este tipo de triángulos entra en la sub-clasificación de “Acutángulos”, pues sus ángulos son agudos.

2.- Triangulo Isóceles.- El triángulo isóceles  cuenta con dos lados iguales y un lado más reducido o grande en el lado desigual. Por esto se pueden encontrar en estos triángulos de la clasificación de “obtusángulos”.

3.- Triángulos escalenos.- En estos triángulos, ninguno de los lados es igual, pueden ser simétricos o asimétricos y forman parte de los triángulos clasificados como “Obtusángulos” o “Acutángulos”, y en el triángulo escaleno, se pueden encontrar los triángulos rectángulos que cuentan con cateto e hipotenusa.

Una característica de los triángulos es que al sumarse sus ángulos da por resultado 180°.

Otra característica exclusiva del triángulo es la de que es la figura geométrica más resistente que existe y es por ello que es la forma idónea para las estructuras de construcción.

• Perímetro de un triángulo. La fórmula para calcular el perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de todos sus lados; P = a + b + c.
• En si es la suma de todos sus lados

• Área de un triángulo. La fórmula para calcular el área de un triángulo es base (b) por altura (h) partido entre dos; A = ½ (b · h). Su resultado se expresa en unidades cuadradas.
  La base de un triángulo es igual a la longitud de uno de sus lados (a menudo el lado inferior). La altura es la recta perpendicular a la base trazada desde el vértice opuesto.

O bien puede ser base por altura sobre dos

b x h

2

La semejanza de triángulos es una característica que hace que dos o más triángulos sean semejantes.

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales (o congruentes) y sus lados correspondientes (u homólogos) son proporcionales.

Son lados homólogos los opuestos a ángulos iguales.

Aquí tenemos un caso, donde se ven los elementos homólogos (ángulos y lados) con la igualdad o congruencia de sus ángulos y la proporcionalidad de los lados:

En los triángulos semejantes se cumplen las condiciones siguientes:

§  

Los ángulos homólogos son iguales:

§  Los lados homólogos son proporcionales:

A r se le denomina razón de semejanza.

§  Se cumple que la razón de los perímetros de dos triángulos semejantes es también la razón de semejanza y que la razón de sus áreas es el cuadrado de la razón de semejanza:

Para saber si dos triángulos son semejantes no es necesario conocer sus tres ángulos y sus tres lados. Existen tres criterios para asegurarlo.

Criterios de semejanza de dos triángulos

1.      Que tengan dos ángulos iguales. (El tercero lo será, porque los tres tienen que sumar 180°).

Si α = α’ y β = β’, entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

2.      Que tengan dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos sea igual.

Entonces:

Y, además, α = α’, entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

3.      Que tengan sus tres lados correspondientes proporcionales.

Entonces:

Tenemos también que los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

Triángulos en posición de Tales

Cuando dos triángulos tienen un ángulo común y sus lados opuestos a ese ángulo son paralelos entre sí, entonces esos triángulos son semejantes.

Esta condición es la que establece el primer teorema de Tales.

Y, por tanto, se cumple que:

Concepto de semejanza en matemática

El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad. En esta ciencia se dice que dos objetos son semejantes si “guardan” una proporción entre ellos.

Resumiendo: dos figuras son semejantes si guardan una proporción entre cada una de sus partes respectivas.

Teorema fundamental de la semejanza

Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo forma, con la prolongación de los otros dos lados otro triángulo que es semejante al triángulo dado.

Criterios de semejanza

Teorema 1: Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales, entonces son semejantes.(a.a)

Teorema 2: Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.(p.a.p.)

Teorema 3: Si dos triángulos tienen sus lados respectivamente proporcionales, entonces son semejantes.(p.p.p)

 

Los cuadriláteros son polígonos que poseen cuatro lados. Sus características y propiedades específicas tienen que ver con sus lados, ángulos y diagonales.

Los cuadriláteros heredan todas las características y propiedades de los polígonos, como el hecho de poseer solo dos diagonales o que la suma de sus ángulos internos siempre es igual a 360°.

Elementos de un cuadrilátero

Lados: son los segmentos de recta que forman al cuadrilátero.

Vértices: son los puntos de encuentro entre dos lados.

Ángulos internos: son los ángulos determinados por dos lados consecutivos de un cuadrilátero.

Ángulos externos: son los ángulos que se forman al prolongar un lado de un polígono. Un ángulo externo siempre es suplementario al ángulo interno adyacente a él.

Diagonales: segmentos de recta cuyas extremidades son dos vértices no consecutivos de un polígono. De esta manera, son los segmentos de recta que unen dos vértices y que a la vez no son lados.

Observación: Un cuadrilátero es convexo cuando está completamente en uno de los semiplanos formados por la recta que resulta de la prolongación de uno de sus lados.

Los cuadriláteros pueden clasificarse de acuerdo con la posición relativa entre sus lados. Aquellos que poseen lados opuestos paralelos se llaman paralelogramos.

Los cuadriláteros que poseen un par de lados opuestos paralelos y los otros dos no, se llaman trapecios. La tercera clase de los cuadriláteros contiene a aquellos que no poseen ningún paralelismo entre sus lados.

Paralelogramos

Los paralelogramos poseen una característica más que los cuadriláteros y es la de poseer lados opuestos paralelos. Esto conlleva una serie de propiedades:

• Poseen lados opuestos congruentes.
• Tienen lados opuestos congruentes.
• Poseen ángulos adyacentes suplementarios.
• Las diagonales de un paralelogramo se cruzan en sus puntos medios.

Los paralelogramos, a su vez, se clasifican en: rectángulos, rombos, cuadrados.

Rectángulo

Los rectángulos son paralelogramos cuyos ángulos internos son rectos (de ahí resulta el nombre rectángulo). Estos tienen todas las características de los paralelogramos y una propiedad específica, que es:

“Las diagonales de un rectángulo son congruentes”

Rombo

Los rombos son paralelogramos que tienen todos sus lados congruentes, es decir, son paralelogramos equiláteros. Su propiedad específica de este es la siguiente:

“Las diagonales de un rombo son perpendiculares”

Cuadrado

Los cuadrados son rombos y rectángulos simultáneamente y por eso poseen todos los ángulos rectos y todos sus lados congruentes. Su característica específica es:

“Las diagonales del cuadrado son perpendiculares y congruentes”

Trapecio

A diferencia de los paralelogramos, los trapecios poseen solo un par de lados paralelos. Estos lados se llaman bases. Los trapecios que tienen los otros dos lados iguales y sus bases desiguales son denominados isósceles.

Las propiedades específicas del trapecio isósceles son:

“Los ángulos de la base y las diagonales son congruentes”

Los trapecios tienen las mismas características y propiedades de los cuadriláteros.

·         Perímetro del cuadrilátero es la suma de la longitud de cada lado del cuadrilátero. Con el fin de realizar el cálculo, hay que medir cada lado del cuadrilátero. Si conoce la forma de la figura, se pueden realizar algunos atajos para el cálculo.

·         Suma de todos sus lados

Perímetro (P) y  Área (A) del CUADRADO

P = a + b + c + d     

A = base . altura 

Perímetro (P) y  Área (A) del RECTÁNGULO

P = a + b + c + d     

A = base * altura  

Perímetro (P) y  Área (A) del PARALELOGRAMO

P = a + b + c + d     

A = base*Altura  

Perímetro (P) y  Área (A) del ROMBO

P = a + b + c + d     

A  =  A (triángulo. ABD)  +  A (triángulo.   BDC)

Comúnmente llamadas diagonal menor (d) y diagonal mayor (D):                   A = (d . D) : 2

                                                                                                                

Perímetro (P) y  Área (A) del TRAPECIO

P = a + b + c + d

 A = A (triáng.DAE) + A(triáng.BCF) + A(rectáng.ABFE)  

Perímetro (P) y  Área (A) del ROMBOIDE

  

P = a + b + c + d     

A  =  A(triáng. ABD)  +  A(triáng.   BDC)

Comúnmente llamadas diagonal menor (d) y diagonal mayor (D):                 A = (d . D) : 2

 

En geometría, la triangulación de un polígono o área poligonal 1​ es una partición 2​ de dicha área en un conjunto de triángulos por un conjunto máxima de diagonales que no se cruzan.

De manera más precisa, una triangulación es una división del área en un conjunto de triángulos que cumplen las siguientes condiciones:

• La unión de todos los triángulos es igual al polígono original.
• Los vértices de los triángulos son vértices del polígono original.
• Cualquier pareja de triángulos es disjunta o comparte únicamente un vértice o un lado.

Triangulaciones de polígono irregulares convexos

Triangulaciones de polígonos cóncavos

Todo polígono de Nº  lados se puede descomponer en n-2 triángulos.

A continuación se muestran propiedades de la triangulación de un polígono simple:

·         Todo polígono simple admite siempre al menos una triangulación.

·         Toda triangulación de un polígono simple con n vértices consiste en exactamente n-2 triángulos

Las diagonales de un polígono son segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

El número de diagonales (D) de un polígono convexo (sea o no regular) viene determinado por el número de lados (N) que tiene el polígono. Su fórmula es:

Esto es así porque de cada vértice sale una diagonal a los demás vértices, excepto a sí mismo y sus dos consecutivos (de ahí el -3). Como una diagonal la trazamos entre dos vértices dos veces, una en cada sentido, el resultado del numerador se tiene que dividir por 2.

Ejemplo:

Un cuadrado tiene 4 lados. Se aplica la fórmula para comprobar el número de diagonales:

El cuadrado tiene dos diagonales. Si la longitud de los lados son conocidos, se puede calcular la longitud de las diagonales.

Perímetro del polígono regular

Es la suma de los valores de sus lados.

Cuando el polígono es regular, como todos sus lados son iguales, el perímetro se obtiene multiplicando el valor de un lado por el número de lados que tiene el polígono.

Área del polígono regular

Si del centro se trazan radios a todos sus vértices, el polígono queda dividido en tantos triángulos iguales como lados tiene el polígono.

El área del polígono será igual al área de un triángulo multiplicada por el número de triángulos.

Si el lado del polígono se nombra l y la altura de cada triángulo es el apotema del polígono identificada como a, el área de cada uno de los triángulos será:

Si el polígono tiene n lados, el número de triángulos que se formarán será igual a n.

Entonces:

Pero n x l significa el número de lados (n) por el valor de un lado (l) del polígono; que si recuerdas, es la fórmula para obtener el perímetro del polígono regular.

Por eso la fórmula que se utiliza para obtener el área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por el apotema

Ángulo central: cuando un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo.

Ángulo inscrito: los extremos y el vértice están sobre la circunferencia.

Ángulo semi-inscrito: formado por una cuerda y una recta tangente.

En un círculo de radio uno, la amplitud de un ángulo central coincide con la longitud del arco que subtiende, así, un ángulo central recto mide π/2 radianes, y la longitud del arco es π/2; si el radio mide r, el arco medirá r x π/2.

La longitud de un arco de ángulo central α, dado en grados sexagesimales, medirá 2π x r x α / 360.

Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar la posición del vértice. Un ángulo semi-inscrito mide la mitad del arco que se encuentra entre la cuerda y la tangente.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

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